Loesung von Mathematik Aufgabe - Algebra

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Variant - 1

Exempel - 5

Die Ungleichung ist zu loesen

\frac{(- 4 r^{2} - 17 r + 42) \cdot (3 r - 6)}{- r - 6} \geq \frac{45 r^{2} - 48 r + 12}{5 r - 2} + (12 r^{2})

1. Bestimmen Sie den zulaessigen Wertebereich (D(f)) fuer vorliegenden Ausdruck, davon ausgehend, dass die Division durch Null nicht ausfuehrbar ist.

{\begin{matrix} - r - 6 \neq 0 \\ 5 r - 2 \neq 0 \end{matrix}

2. Loesen Sie die lineare Gleichung unter Anwendung der Eigenschaften der Aequivalenz der Gleichungen bezueglich der Addition und Multiplikation.

{\begin{matrix} r \neq - 6 \\ r \neq \frac{2}{5} \end{matrix}

3. Zerlegen Sie die im Ausdruck enthaltenen quadratischen Trinome in Faktoren unter Anwendung des Satzes ueber das Zerlegen des quadratischen Trinoms in Faktoren.

\frac{((- 4) \cdot (r - \frac{7}{4}) \cdot (r + 6)) \cdot (3 r - 6)}{- r - 6} \geq \frac{45 r^{2} - 48 r + 12}{5 r - 2} + (12 r^{2})

4. Kuerzen Sie Unter Anwendung der Haupteigenschaft des Bruchs den gebrochenen Ausdruck durch das von Null verschiedene lineare Polynom (den Ausdruck der Form ax+b).

(4 r - 7) \cdot (3 r - 6) \geq \frac{45 r^{2} - 48 r + 12}{5 r - 2} + (12 r^{2})

5. Zerlegen Sie die im Ausdruck enthaltenen quadratischen Trinome in Faktoren unter Anwendung des Satzes ueber das Zerlegen des quadratischen Trinoms in Faktoren.

(4 r - 7) \cdot (3 r - 6) \geq \frac{45 \cdot (r - \frac{2}{5}) \cdot (r - \frac{2}{3})}{5 r - 2} + (12 r^{2})

6. Kuerzen Sie Unter Anwendung der Haupteigenschaft des Bruchs den gebrochenen Ausdruck durch das von Null verschiedene lineare Polynom (den Ausdruck der Form ax+b).

(4 r - 7) \cdot (3 r - 6) \geq (9 r - 6) + (12 r^{2})

7. Multiplizieren Sie die im Ausdruck enthaltenen Polynome miteinander unter Anwendung des Distributivgesetzes.

(12 r^{2} - 24 r - 21 r + 42) \geq (9 r - 6) + (12 r^{2})

8. Addieren Sie Koeffizienten bei aehnlichen Gliedern des Polynoms.

(12 r^{2} - 45 r + 42) \geq (9 r - 6) + (12 r^{2})

9. Addieren Sie Polynome unter Anwendung der Definition der Addition.

(12 r^{2} - 45 r + 42) \geq (9 r - 6 + 12 r^{2})

10. Gruppieren Sie aehnliche Polynomglieder.

(12 r^{2} - 45 r + 42) \geq (12 r^{2} + 9 r - 6)

11. Bringen Sie die Ausdruecke von einer Seite der Ungleichung auf die andere. Als Ergebnis der durchgefuehrten Umformung erhaelt man folgende Ungleichung, die der urspruenglichen aequivalent ist.

(12 r^{2} - 45 r + 42) - (12 r^{2} + 9 r - 6) \geq 0

12. Addieren Sie Polynome unter Anwendung der Definition der Addition.

(12 r^{2} - 45 r + 42 - 12 r^{2} - 9 r + 6) \geq 0

13. Gruppieren Sie aehnliche Polynomglieder.

12 r^{2} - 12 r^{2} - 45 r - 9 r + 42 + 6 \geq 0

14. Addieren Sie Koeffizienten bei aehnlichen Gliedern des Polynoms.

- 54 r + 48 \geq 0

15. Multiplizieren Sie beide Seiten der Ungleichung mit -1. Als Ergebnis der durchgefuehrten Umformung erhaelt man folgende Ungleichung, die der urspruenglichen aequivalent ist.

54 r - 48 \leq 0

16. Dividieren Sie beide Seiten der Ungleichung durch den groessten gemeinsamen Teiler der Koeffizienten des die Ungleichung bildenden Polynoms. Als Ergebnis der ausgefuehrten Umformung erhaelt man folgende Ungleichung, die der urspruenglichen aequivalent ist.

9 r - 8 \leq 0

17. Bringen Sie den Zahlensummanden von der linken Seite der Ungleichung auf die rechte, unter Anwendung der Eigenschaft der Aequivalenz der Ungleichungen bezueglich der Addition.

9 r \leq 8

18. Dividieren Sie beide Seiten der Ungleichung durch den Zahlenkoeffizienten beim Argument Unter Anwendung der Eigenschaft der Aequivalenz der Ungleichungen bezueglich der Multiplikation.

r \leq \frac{8}{9}

19. Wenden Sie das Intervall-Verfahren fuer die erhaltene Gleichheit an.

20. Beachten Sie die Wertemenge, die beim Bestimmen des zulaessigen Wertebereiches erhalten wurden, und vergleichen Sie sie mit der gefundenen Loesung.

21. Antwort

\forall r \in (- \infty; - 6) \lor (- 6; \frac{2}{5}) \lor (\frac{2}{5}; \frac{8}{9}]

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Utrecht, The Netherlands