Loesung von Mathematik Aufgabe - Algebra Calculus

Levels of solution complexity

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EMTeachline bietet 11 Komplexitaetsstufen (subjektive Kenngroesse, die auf der Anzahl von den fuer die Loesung einer Aufgabe verwendeten Formeln und Methoden beruht) der Aufgaben an.

Thema	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	Algebra Calculus
Komplexitaet	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11					Komplexitaetsstufe: 11

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Die Gueltigkeit der Ungleichung ist bei dem vorgegebenen Argumentwert zu pruefen b=0,581;

{(b - 2)}^{2} + {(- 3 b + 2)}^{2} < > (5 b - 2) - 2 \cdot \frac{b^{3} + 4 b^{2} - 3 b - 18}{b^{2} + 6 b + 9} \cdot (- 3 b + 2)

1. Um die Zahlenwerte zu vergleichen, nehmen Sie an, dass der erste Ausdruck streng groesser als der zweite ist. Ergibt sich nach den identischen Umformungen eine gueltige Ungleichung, so ist die Annahme richtig, wenn nicht, dann ist das Beweisverfahren vom Umkehrschluss anzuwenden.

{(b - 2)}^{2} + {(- 3 b + 2)}^{2} > (5 b - 2) - 2 \cdot \frac{b^{3} + 4 b^{2} - 3 b - 18}{b^{2} + 6 b + 9} \cdot (- 3 b + 2)

2. Addieren Sie und subtrahieren Sie gleiche Summanden, zerlegen Sie danach das kubische Polynom in die Summe zweier Polynomen, die die Anwendung der Formeln des vollstaendigen Quadrates und des vollstaendigen Kubus zulassen.

{(b - 2)}^{2} + {(- 3 b + 2)}^{2} > (5 b - 2) - 2 \cdot \frac{(b^{3} + 9 b^{2} + 27 b + 27) + (- 5 b^{2} - 30 b - 45)}{b^{2} + 6 b + 9} \cdot (- 3 b + 2)

3. Stellen Sie den Bruch als Summe der Brueche mit dem gleichen Nenner unter Anwendung der Regel der algebraischen Addition der Brueche (unter Beachten des Vorzeichens) dar.

{(b - 2)}^{2} + {(- 3 b + 2)}^{2} > (5 b - 2) - 2 \cdot (\frac{b^{3} + 9 b^{2} + 27 b + 27}{b^{2} + 6 b + 9} + \frac{- 5 b^{2} - 30 b - 45}{b^{2} + 6 b + 9}) \cdot (- 3 b + 2)

4. Formen Sie den Ausdruck unter Anwendung der Formeln der gekuerzten Multiplikation um.

{(b - 2)}^{2} + {(- 3 b + 2)}^{2} > (5 b - 2) - 2 \cdot (\frac{{(b + 3)}^{3}}{b^{2} + 6 b + 9} + \frac{- 5 b^{2} - 30 b - 45}{b^{2} + 6 b + 9}) \cdot (- 3 b + 2)

5. Formen Sie den Ausdruck unter Anwendung der Formeln der gekuerzten Multiplikation um.

{(b - 2)}^{2} + {(- 3 b + 2)}^{2} > (5 b - 2) - 2 \cdot (\frac{{(b + 3)}^{3}}{{(b + 3)}^{2}} + \frac{- 5 b^{2} - 30 b - 45}{b^{2} + 6 b + 9}) \cdot (- 3 b + 2)

6. Kuerzen Sie den Bruch durch aehnliche Polynome unter Beachtung der Aehnlichkeitskonstante der Polynome und unter Anwendung der Potenzgesetze und der Haupteigenschaft des Bruches.

{(b - 2)}^{2} + {(- 3 b + 2)}^{2} > (5 b - 2) - 2 \cdot ((b + 3) + \frac{- 5 b^{2} - 30 b - 45}{b^{2} + 6 b + 9}) \cdot (- 3 b + 2)

7. Kuerzen Sie den Bruch durch aehnliche Polynome unter Anwendung der Haupteigenschaft des Bruchs.

{(b - 2)}^{2} + {(- 3 b + 2)}^{2} > (5 b - 2) - 2 \cdot ((b + 3) + (- 5)) \cdot (- 3 b + 2)

8. Addieren Sie Polynome unter Anwendung der Definition der Addition.

{(b - 2)}^{2} + {(- 3 b + 2)}^{2} > (5 b - 2) - 2 \cdot (b + 3 - 5) \cdot (- 3 b + 2)

9. Addieren Sie Koeffizienten bei aehnlichen Gliedern des Polynoms.

{(b - 2)}^{2} + {(- 3 b + 2)}^{2} > (5 b - 2) - 2 \cdot (b - 2) \cdot (- 3 b + 2)

10. Gruppieren Sie die Summanden unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Addition so um, dass sich die Formel des vollstaendigen Quadrates anwenden laesst.

{(b - 2)}^{2} + 2 \cdot (b - 2) \cdot (- 3 b + 2) + {(- 3 b + 2)}^{2} > (5 b - 2)

11. Formen Sie den Ausdruck unter Anwendung der Formel des vollstaendigen Quadrates um.

{((b - 2) + (- 3 b + 2))}^{2} > (5 b - 2)

12. Addieren Sie Polynome unter Anwendung der Definition der Addition.

{(b - 2 - 3 b + 2)}^{2} > (5 b - 2)

13. Gruppieren Sie aehnliche Polynomglieder.

{(b - 3 b - 2 + 2)}^{2} > (5 b - 2)

14. Addieren Sie Koeffizienten bei aehnlichen Gliedern des Polynoms.

{(- 2 b)}^{2} > (5 b - 2)

15. Erheben Sie die im Ausdruck enthaltenen Polynome in die natuerliche Potenz.

(4 b^{2}) > (5 b - 2)

16. Bringen Sie die Ausdruecke von einer Seite der Ungleichung auf die andere. Als Ergebnis der durchgefuehrten Umformung erhaelt man folgende Ungleichung, die der urspruenglichen aequivalent ist.

(4 b^{2}) - (5 b - 2) > 0

17. Addieren Sie Polynome unter Anwendung der Definition der Addition.

(4 b^{2} - 5 b + 2) > 0

18. Setzen Sie den Zahlenwert in den Ausdruck ein.

1,350244 - 2,905 + 2 > 0

19. Addieren Sie Koeffizienten bei aehnlichen Gliedern des Polynoms.

0,445244 > 0

20. Folgerung: als Ergebnis der ausgefuehrten Annahme, der durchgefuehrten identischen Umformungen und Berechnungen ist das folgende Ergebnis richtig (unter Beachtung des Beweisverfahrens vom Umkehrschluss).

{(b - 2)}^{2} + {(- 3 b + 2)}^{2} > (5 b - 2) - 2 \cdot \frac{b^{3} + 4 b^{2} - 3 b - 18}{b^{2} + 6 b + 9} \cdot (- 3 b + 2)

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Utrecht, The Netherlands