Loesung von Mathematik Aufgabe - Algebra Equations

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EMTeachline bietet 11 Komplexitaetsstufen (subjektive Kenngroesse, die auf der Anzahl von den fuer die Loesung einer Aufgabe verwendeten Formeln und Methoden beruht) der Aufgaben an.

Thema	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	Algebra Equations
Komplexitaet	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11					Komplexitaetsstufe: 11

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Die Gleichung ist zu loesen

\frac{2 x^{2} - 3 x + 7}{- x^{2} - 2 x - 1} = - 1 - \frac{- 2 x^{2} - 1}{- 2 x^{2} + 9}

1. Bestimmen Sie den zulaessigen Wertebereich (D(f)) fuer vorliegenden Ausdruck, davon ausgehend, dass die Division durch Null nicht ausfuehrbar ist.

{\begin{matrix} - x^{2} - 2 x - 1 \neq 0 \\ - 2 x^{2} + 9 \neq 0 \end{matrix}

2. Zerlegen Sie das quadratische Trinom in Faktoren. Als Ergebnis der durchgefuehrten Umformung erhaelt man folgende Gleichung, die der urspruenglichen aequivalent ist.

{\begin{matrix} {(x + 1)}^{2} \neq 0 \\ 2 \cdot (x + \sqrt[2]{\frac{9}{2}}) \cdot (x - \sqrt[2]{\frac{9}{2}}) \neq 0 \end{matrix}

3. Vereinfachen Sie die Gleichung, davon ausgehend, dass fuer eine Potenzfunktion der folgende Satz f(x)=0 => x=0 gueltig ist.

{\begin{matrix} x + 1 \neq 0 \\ x + \sqrt[2]{\frac{9}{2}} \neq 0 \\ x - \sqrt[2]{\frac{9}{2}} \neq 0 \end{matrix}

4. Loesen Sie die lineare Gleichung unter Anwendung der Eigenschaften der Aequivalenz der Gleichungen bezueglich der Addition und Multiplikation.

{\begin{matrix} x \neq - 1 \\ x \neq - \sqrt[2]{\frac{9}{2}} \\ x \neq + \sqrt[2]{\frac{9}{2}} \end{matrix}

5. Addieren Sie die Brueche unter Anwendung der Regel der Addition der Brueche.

\frac{2 x^{2} - 3 x + 7}{- x^{2} - 2 x - 1} = \frac{(- 1) \cdot (- 2 x^{2} + 9) - (- 2 x^{2} - 1)}{- 2 x^{2} + 9}

6. Multiplizieren Sie Polynome im Zaehler des Bruchs miteinander unter Anwendung des Distributivgesetzes und von der Regel der Multiplikation von Polynomen "jedes mit jedem" ausgehend.

\frac{2 x^{2} - 3 x + 7}{- x^{2} - 2 x - 1} = \frac{(2 x^{2} - 9) - (- 2 x^{2} - 1)}{- 2 x^{2} + 9}

7. Loesen Sie die Klammern unter Anwendung des Distributivgesetzes auf.

\frac{2 x^{2} - 3 x + 7}{- x^{2} - 2 x - 1} = \frac{2 x^{2} - 9 + 2 x^{2} + 1}{- 2 x^{2} + 9}

8. Gruppieren Sie aehnliche Polynomglieder.

\frac{2 x^{2} - 3 x + 7}{- x^{2} - 2 x - 1} = \frac{2 x^{2} + 2 x^{2} - 9 + 1}{- 2 x^{2} + 9}

9. Addieren Sie Koeffizienten bei aehnlichen Polynomgliedern; dadurch erhaelt man das gewuenschte Ergebnis.

\frac{2 x^{2} - 3 x + 7}{- x^{2} - 2 x - 1} = \frac{4 x^{2} - 8}{- 2 x^{2} + 9}

10. Bringen Sie die Ausdruecke von einer Seite der Gleichung auf die andere. Als Ergebnis der durchgefuehrten Umformung erhaelt man folgende Gleichung, die der gegebenen aequivalent ist.

\frac{2 x^{2} - 3 x + 7}{- x^{2} - 2 x - 1} - \frac{4 x^{2} - 8}{- 2 x^{2} + 9} = 0

11. Addieren Sie die Brueche unter Anwendung der Regel der Addition der Brueche.

\frac{(2 x^{2} - 3 x + 7) \cdot (- 2 x^{2} + 9) - (4 x^{2} - 8) \cdot (- x^{2} - 2 x - 1)}{(- x^{2} - 2 x - 1) \cdot (- 2 x^{2} + 9)} = 0

12. Multiplizieren Sie Polynome im Zaehler des Bruchs miteinander unter Anwendung des Distributivgesetzes und von der Regel der Multiplikation von Polynomen "jedes mit jedem" ausgehend.

\frac{(- 4 x^{4} + 6 x^{3} + 4 x^{2} - 27 x + 63) - (- 4 x^{4} - 8 x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 8)}{(- x^{2} - 2 x - 1) \cdot (- 2 x^{2} + 9)} = 0

13. Loesen Sie die Klammern unter Anwendung des Distributivgesetzes auf.

\frac{- 4 x^{4} + 6 x^{3} + 4 x^{2} - 27 x + 63 + 4 x^{4} + 8 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x - 8}{(- x^{2} - 2 x - 1) \cdot (- 2 x^{2} + 9)} = 0

14. Gruppieren Sie aehnliche Polynomglieder.

\frac{- 4 x^{4} + 4 x^{4} + 6 x^{3} + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{2} - 27 x - 16 x + 63 - 8}{(- x^{2} - 2 x - 1) \cdot (- 2 x^{2} + 9)} = 0

15. Addieren Sie Koeffizienten bei aehnlichen Polynomgliedern; dadurch erhaelt man das gewuenschte Ergebnis.

\frac{+ 14 x^{3} - 43 x + 55}{(- x^{2} - 2 x - 1) \cdot (- 2 x^{2} + 9)} = 0

16. Beseitigen Sie den Nenner des Bruches, von der Eigenschaften der Aequivalenz der Gleichung (Ungleichung) bezueglich der Multiplikation ausgehend.

14 x^{3} - 43 x + 55 = 0

17. Dividieren Sie beide Seiten der Gleichung durch den Zahlenkoeffizienten beim Argument Unter Anwendung der Eigenschaft der Aequivalenz der Gleichungen bezueglich der Multiplikation.

x^{3} - \frac{43}{14} x + \frac{55}{14} = 0

18. Fuehren Sie die spezielle gebrochene lineare Cardanosche Substitution in der reduzierten kubischen Gleichung aus.

{(q + \frac{43}{42} q^{-1})}^{3} - \frac{43}{14} \cdot (q + \frac{43}{42} q^{-1}) + \frac{55}{14} = 0

19. Erheben Sie die im Ausdruck enthaltenen Polynome in die natuerliche Potenz.

(q^{3} + \frac{43}{14} q + \frac{1849}{588} q^{-1} + \frac{79507}{74088} q^{-3}) - \frac{43}{14} \cdot (q + \frac{43}{42} q^{-1}) + \frac{55}{14} = 0

20. Multiplizieren Sie die im Ausdruck enthaltenen Polynome miteinander unter Anwendung des Distributivgesetzes.

(q^{3} + \frac{43}{14} q + \frac{1849}{588} q^{-1} + \frac{79507}{74088} q^{-3}) - (\frac{43}{14} q + \frac{1849}{588} q^{-1}) + \frac{55}{14} = 0

21. Addieren Sie Polynome unter Anwendung der Definition der Addition.

(q^{3} + \frac{43}{14} q + \frac{1849}{588} q^{-1} + \frac{79507}{74088} q^{-3} - \frac{43}{14} q - \frac{1849}{588} q^{-1}) + \frac{55}{14} = 0

22. Gruppieren Sie aehnliche Polynomglieder.

(q^{3} + \frac{43}{14} q - \frac{43}{14} q + \frac{1849}{588} q^{-1} - \frac{1849}{588} q^{-1} + \frac{79507}{74088} q^{-3}) + \frac{55}{14} = 0

23. Addieren Sie Koeffizienten bei aehnlichen Gliedern des Polynoms.

(q^{3} + \frac{79507}{74088} q^{-3}) + \frac{55}{14} = 0

24. Addieren Sie Polynome unter Anwendung der Definition der Addition.

(q^{3} + \frac{79507}{74088} q^{-3} + \frac{55}{14}) = 0

25. Gruppieren Sie aehnliche Polynomglieder.

q^{3} + \frac{55}{14} + \frac{79507}{74088} q^{-3} = 0

26. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit der Potenzfunktion vom Argument, von der Eigenschaft der Aequivalenz der Gleichungen hinsichtlich der Multiplikation ausgehend. Den Potenzexponenten waehlt man so aus, dass die Potenzexponenten des die Gleichung bildenden Polynoms groesser oder gleich Null sind.

(q^{6} + \frac{55}{14} q^{3} + \frac{79507}{74088}) = 0

27. Fuehren Sie die Potenzsubstitution von Funktionen gemaess der Regel f(x)=t aus. (x ist das alte Argument, t - das neue Argument, f(x) - die zu ersetzende Potenzfunktion).

(v^{2} + \frac{55}{14} v + \frac{79507}{74088}) = 0

28. Zerlegen Sie das quadratische Trinom in Faktoren. Als Ergebnis der durchgefuehrten Umformung erhaelt man folgende Gleichung, die der urspruenglichen aequivalent ist.

(v + \frac{55}{28} + \sqrt[2]{\frac{412711}{148176}}) \cdot (v + \frac{55}{28} - \sqrt[2]{\frac{412711}{148176}}) = 0

29. Fuehren Sie die umgekehrte Ersetzung aus und ziehen Sie Kubikwurzeln aus den erhaltenen Wurzeln der quadratischen Gleichung. Als Ergebnis erhaelt man Cardano-Radikale.

[\begin{matrix} q = \sqrt[3]{- \frac{55}{28} - \sqrt[2]{\frac{412711}{148176}}} \\ q = \sqrt[3]{- \frac{55}{28} + \sqrt[2]{\frac{412711}{148176}}} \end{matrix}

30. Wenden Sie die Cardanosche Formel fuer erhaltene Cardano-Radikale an.

[\begin{matrix} x = \sqrt[3]{- \frac{55}{28} + \sqrt[2]{\frac{412711}{148176}}} + \sqrt[3]{- \frac{55}{28} - \sqrt[2]{\frac{412711}{148176}}} \\ \sqrt[3]{- \frac{55}{28} + \sqrt[2]{\frac{412711}{148176}}} \cdot \sqrt[3]{- \frac{55}{28} - \sqrt[2]{\frac{412711}{148176}}} = \frac{43}{42} \end{matrix}

31. Pruefen Sie, ob das Cardano-Verhaeltnis fuer unterschiedliche Werte der Cardano-Radikale erfuellt wird, waehlen Sie danach nur reelle Wurzeln der Gleichung aus.

x = \sqrt[3]{- \frac{55}{28} + \sqrt[2]{\frac{412711}{148176}}} + \sqrt[3]{- \frac{55}{28} - \sqrt[2]{\frac{412711}{148176}}}

32. Beachten Sie die Wertemenge, die beim Bestimmen des zulaessigen Wertebereiches erhalten wurden, und vergleichen Sie sie mit der gefundenen Loesung.

x = \sqrt[3]{- \frac{55}{28} + \sqrt[2]{\frac{412711}{148176}}} + \sqrt[3]{- \frac{55}{28} - \sqrt[2]{\frac{412711}{148176}}} \in D(f)

33. Antwort

\forall x \in {\sqrt[3]{- \frac{55}{28} + \sqrt[2]{\frac{412711}{148176}}} + \sqrt[3]{- \frac{55}{28} - \sqrt[2]{\frac{412711}{148176}}}}

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Utrecht, The Netherlands