Loesung von Mathematik Aufgabe - Algebra Inequalities

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EMTeachline bietet 11 Komplexitaetsstufen (subjektive Kenngroesse, die auf der Anzahl von den fuer die Loesung einer Aufgabe verwendeten Formeln und Methoden beruht) der Aufgaben an.

Thema	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	Algebra Inequalities
Komplexitaet	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11					Komplexitaetsstufe: 11

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Die Ungleichung ist zu loesen

\frac{- 8 y^{2} + 16 y + 3}{4 y^{2} - 8 y + 5} + \frac{16 y^{2} - 32 y - 5}{12 y^{2} - 24 y - 2} \leq - \frac{2}{3}

1. Bestimmen Sie den zulaessigen Wertebereich (D(f)) fuer vorliegenden Ausdruck, davon ausgehend, dass die Division durch Null nicht ausfuehrbar ist.

{\begin{matrix} 4 y^{2} - 8 y + 5 \neq 0 \\ 12 y^{2} - 24 y - 2 \neq 0 \end{matrix}

2. Zerlegen Sie das quadratische Trinom in Faktoren. Als Ergebnis der durchgefuehrten Umformung erhaelt man folgende Gleichung, die der urspruenglichen aequivalent ist.

{\begin{matrix} 12 \cdot (y - 1 + \sqrt[2]{\frac{7}{6}}) \cdot (y - 1 - \sqrt[2]{\frac{7}{6}}) \neq 0 \\ 4 y^{2} - 8 y + 5 \neq 0 \end{matrix}

3. Loesen Sie die lineare Gleichung unter Anwendung der Eigenschaften der Aequivalenz der Gleichungen bezueglich der Addition und Multiplikation.

{\begin{matrix} y \neq 1 - \sqrt[2]{\frac{7}{6}} \\ y \neq 1 + \sqrt[2]{\frac{7}{6}} \end{matrix}

4. Da in der Ungleichung nur gleiche Elementarfunktionen f vom Argument enthalten sind, fuehren Sie die Ersetzung dieser Funktionen gemaess der Regel f(x)=t aus, wo x das alte Argument, t das neue Argument, und f die zu ersetzende Funktion ist.

\frac{- 8 p + 3}{4 p + 5} + \frac{16 p - 5}{12 p - 2} \leq - \frac{2}{3}

5. Addieren Sie die Brueche unter Anwendung der Regel der Addition der Brueche.

\frac{(- 8 p + 3) \cdot (12 p - 2) + (16 p - 5) \cdot (4 p + 5)}{(4 p + 5) \cdot (12 p - 2)} \leq - \frac{2}{3}

6. Multiplizieren Sie Polynome im Zaehler des Bruchs miteinander unter Anwendung des Distributivgesetzes und von der Regel der Multiplikation von Polynomen "jedes mit jedem" ausgehend.

\frac{(- 96 p^{2} + 16 p + 36 p - 6) + (64 p^{2} + 80 p - 20 p - 25)}{(4 p + 5) \cdot (12 p - 2)} \leq - \frac{2}{3}

7. Loesen Sie die Klammern unter Anwendung des Distributivgesetzes auf.

\frac{- 96 p^{2} + 16 p + 36 p - 6 + 64 p^{2} + 80 p - 20 p - 25}{(4 p + 5) \cdot (12 p - 2)} \leq - \frac{2}{3}

8. Gruppieren Sie aehnliche Polynomglieder.

\frac{- 96 p^{2} + 64 p^{2} + 16 p + 36 p + 80 p - 20 p - 6 - 25}{(4 p + 5) \cdot (12 p - 2)} \leq - \frac{2}{3}

9. Addieren Sie Koeffizienten bei aehnlichen Polynomgliedern; dadurch erhaelt man das gewuenschte Ergebnis.

\frac{- 32 p^{2} + 112 p - 31}{(4 p + 5) \cdot (12 p - 2)} \leq - \frac{2}{3}

10. Bringen Sie die Ausdruecke von einer Seite der Ungleichung auf die andere. Als Ergebnis der durchgefuehrten Umformung erhaelt man folgende Ungleichung, die der urspruenglichen aequivalent ist.

\frac{- 32 p^{2} + 112 p - 31}{(4 p + 5) \cdot (12 p - 2)} - (- \frac{2}{3}) \leq 0

11. Addieren Sie die Brueche unter Anwendung der Regel der Addition der Brueche.

\frac{- 32 p^{2} + 112 p - 31 - (- \frac{2}{3}) \cdot (4 p + 5) \cdot (12 p - 2)}{(4 p + 5) \cdot (12 p - 2)} \leq 0

12. Multiplizieren Sie Polynome im Zaehler des Bruchs miteinander unter Anwendung des Distributivgesetzes und von der Regel der Multiplikation von Polynomen "jedes mit jedem" ausgehend.

\frac{- 32 p^{2} + 112 p - 31 - (- \frac{8}{3} p - \frac{10}{3}) \cdot (12 p - 2)}{(4 p + 5) \cdot (12 p - 2)} \leq 0

13. Multiplizieren Sie Polynome im Zaehler des Bruchs miteinander unter Anwendung des Distributivgesetzes und von der Regel der Multiplikation von Polynomen "jedes mit jedem" ausgehend.

\frac{- 32 p^{2} + 112 p - 31 - (- 32 p^{2} + \frac{16}{3} p - 40 p + \frac{20}{3})}{(4 p + 5) \cdot (12 p - 2)} \leq 0

14. Loesen Sie die Klammern unter Anwendung des Distributivgesetzes auf.

\frac{- 32 p^{2} + 112 p - 31 + 32 p^{2} - \frac{16}{3} p + 40 p - \frac{20}{3}}{(4 p + 5) \cdot (12 p - 2)} \leq 0

15. Gruppieren Sie aehnliche Polynomglieder.

\frac{- 32 p^{2} + 32 p^{2} + 112 p - \frac{16}{3} p + 40 p - 31 - \frac{20}{3}}{(4 p + 5) \cdot (12 p - 2)} \leq 0

16. Addieren Sie Koeffizienten bei aehnlichen Polynomgliedern; dadurch erhaelt man das gewuenschte Ergebnis.

\frac{+ \frac{440}{3} p - \frac{113}{3}}{(4 p + 5) \cdot (12 p - 2)} \leq 0

17. Multiplizieren Sie den Zaehler und den Nenner mit einem und demselben Ausdruck, der dem Nenner gleich ist, von der Haupteigenschaft des Bruches ausgehend.

\frac{(+ \frac{440}{3} p - \frac{113}{3}) \cdot (4 p + 5) \cdot (12 p - 2)}{{((4 p + 5) \cdot (12 p - 2))}^{2}} \leq 0

18. Beseitigen Sie den Nenner im algebraischen Bruch, von der positiven Definitheit des Nenners und der Eigenschaft der Ungleichungen ausgehend.

(+ \frac{440}{3} p - \frac{113}{3}) \cdot (4 p + 5) \cdot (12 p - 2) \leq 0

19. Fuehren Sie die inverse Ersetzung der Funktion aus.

(\frac{440}{3} \cdot (y^{2} - 2 y) - \frac{113}{3}) \cdot (4 \cdot (y^{2} - 2 y) + 5) \cdot (12 \cdot (y^{2} - 2 y) - 2) \leq 0

20. Multiplizieren Sie die im Ausdruck enthaltenen Polynome miteinander unter Anwendung des Distributivgesetzes.

(\frac{440}{3} y^{2} - \frac{880}{3} y - \frac{113}{3}) \cdot (4 y^{2} - 8 y + 5) \cdot (12 y^{2} - 24 y - 2) \leq 0

21. Addieren Sie Polynome unter Anwendung der Definition der Addition.

(\frac{440}{3} y^{2} - \frac{880}{3} y - \frac{113}{3}) \cdot (4 y^{2} - 8 y + 5) \cdot (12 y^{2} - 24 y - 2) \leq 0

22. Bringen Sie die im Ausdruck enthaltenen Polynome auf die Normalform. Klammern Sie dazu den Zahlenfaktor beim Leitglied jedes Polynoms unter Anwendung des Distributivgesetzes aus.

(7040) \cdot (y^{2} - 2 y - \frac{113}{440}) \cdot (y^{2} - 2 y + \frac{5}{4}) \cdot (y^{2} - 2 y - \frac{1}{6}) \leq 0

23. Dividieren Sie beide Seiten der Ungleichung durch den Zahlenkoeffizienten.

(y^{2} - 2 y - \frac{113}{440}) \cdot (y^{2} - 2 y + \frac{5}{4}) \cdot (y^{2} - 2 y - \frac{1}{6}) \leq 0

24. Zerlegen Sie das quadratische Trinom in Faktoren. Als Ergebnis der durchgefuehrten Umformung erhaelt man folgende Ungleichung, die der urspruenglichen aequivalent ist.

(y - 1 + \sqrt[2]{\frac{553}{440}}) \cdot (y - 1 - \sqrt[2]{\frac{553}{440}}) \cdot (y^{2} - 2 y + \frac{5}{4}) \cdot (y^{2} - 2 y - \frac{1}{6}) \leq 0

25. Zerlegen Sie das quadratische Trinom in Faktoren. Als Ergebnis der durchgefuehrten Umformung erhaelt man folgende Ungleichung, die der urspruenglichen aequivalent ist.

(y - 1 + \sqrt[2]{\frac{553}{440}}) \cdot (y - 1 - \sqrt[2]{\frac{553}{440}}) \cdot (y^{2} - 2 y + \frac{5}{4}) \cdot (y - 1 + \sqrt[2]{\frac{7}{6}}) \cdot (y - 1 - \sqrt[2]{\frac{7}{6}}) \leq 0

26. Wenden Sie das Intervall-Verfahren fuer die erhaltene Gleichheit an.

27. Beachten Sie die Wertemenge, die beim Bestimmen des zulaessigen Wertebereiches erhalten wurden, und vergleichen Sie sie mit der gefundenen Loesung.

28. Antwort

\forall y \in [1 - \sqrt[2]{\frac{553}{440}}; 1 - \sqrt[2]{\frac{7}{6}}) \lor (1 + \sqrt[2]{\frac{7}{6}}; 1 + \sqrt[2]{\frac{553}{440}}]

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Utrecht, The Netherlands