Solution of math problem - trigonometrische Gleichungen

${\cos }^4\left(s\right)+{\sin }^4\left(s\right)=3·{\sin }^{}\left(4s\right)+2·{\cos }^{}\left(4s\right)$

1. Druecken  Sie  den  Kosinus  vom  doppelten  Argument  durch  den  Sinus  und  Kosinus  vom  Argument  aus.

${\cos }^4\left(s\right)+{\sin }^4\left(s\right)=3·{\sin }^{}\left(4s\right)+2·\left({\cos }^2\left(2s\right)-{\sin }^2\left(2s\right)\right)$

2. Stellen  Sie  das  Produkt  der  Funktionen  als  Potenz  unter  Benutzung  der  Potenzdefinition  dar.

${\cos }^4\left(s\right)+{\sin }^4\left(s\right)=3·2·{\sin }^{}\left(2s\right)·{\cos }^{}\left(2s\right)+2·\left({\cos }^2\left(2s\right)-{\sin }^2\left(2s\right)\right)$

3. Multiplizieren  Sie  die  im  Ausdruck  enthaltenen  Polynome  miteinander  unter  Anwendung  des  Distributivgesetzes.

${\cos }^4\left(s\right)+{\sin }^4\left(s\right)=6·{\sin }^{}\left(2s\right)·{\cos }^{}\left(2s\right)+2·\left({\cos }^2\left(2s\right)-{\sin }^2\left(2s\right)\right)$

4. Stellen  Sie  die  durch  zwei  teilbare  Potenz  als  Quadrat  von  der  Funktion  dar.

${\left({\cos }^2\left(s\right)\right)}^2+{\sin }^4\left(s\right)=6·{\sin }^{}\left(2s\right)·{\cos }^{}\left(2s\right)+2·\left({\cos }^2\left(2s\right)-{\sin }^2\left(2s\right)\right)$

5. Stellen  Sie  die  durch  zwei  teilbare  Potenz  als  Quadrat  von  der  Funktion  dar.

${\left({\cos }^2\left(s\right)\right)}^2+{\left({\sin }^2\left(s\right)\right)}^2=6·{\sin }^{}\left(2s\right)·{\cos }^{}\left(2s\right)+2·\left({\cos }^2\left(2s\right)-{\sin }^2\left(2s\right)\right)$

6. Wenden  Sie  die  Formel  der  Graderniedrigung  an,  druecken  Sie  das  Kosinus  Quadrat  durch  den  Sinus  des  doppelten  Winkels  aus.

${\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}·{\cos }^{}\left(2s\right)\right)}^2+{\left({\sin }^2\left(s\right)\right)}^2=6·{\sin }^{}\left(2s\right)·{\cos }^{}\left(2s\right)+2·\left({\cos }^2\left(2s\right)-{\sin }^2\left(2s\right)\right)$

7. Wenden  Sie  die  Formel  der  Graderniedrigung  an,  druecken  Sie  das  Sinus  Quadrat  durch  den  Kosinus  des  doppelten  Winkels  aus.

${\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}·{\cos }^{}\left(2s\right)\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}·{\cos }^{}\left(2s\right)\right)}^2=6·{\sin }^{}\left(2s\right)·{\cos }^{}\left(2s\right)+2·\left({\cos }^2\left(2s\right)-{\sin }^2\left(2s\right)\right)$

8. Erheben  Sie  den  Ausdruck  in  Klammern  in  die  natuerliche  Potenz.

$\frac{1}{4}·{\cos }^2\left(2s\right)+\frac{1}{2}·{\cos }^{}\left(2s\right)+\frac{1}{4}+{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}·{\cos }^{}\left(2s\right)\right)}^2=6·{\sin }^{}\left(2s\right)·{\cos }^{}\left(2s\right)+2·\left({\cos }^2\left(2s\right)-{\sin }^2\left(2s\right)\right)$

9. Erheben  Sie  den  Ausdruck  in  Klammern  in  die  natuerliche  Potenz.

$\frac{1}{4}·{\cos }^2\left(2s\right)+\frac{1}{2}·{\cos }^{}\left(2s\right)+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}·{\cos }^2\left(2s\right)-\frac{1}{2}·{\cos }^{}\left(2s\right)+\frac{1}{4}=6·{\sin }^{}\left(2s\right)·{\cos }^{}\left(2s\right)+2·\left({\cos }^2\left(2s\right)-{\sin }^2\left(2s\right)\right)$

10. Addieren  Sie  aehnliche  Funktionen.

$\frac{1}{2}·{\cos }^2\left(2s\right)+\frac{1}{2}=6·{\cos }^{}\left(2s\right)·{\sin }^{}\left(2s\right)+2·\left({\cos }^2\left(2s\right)-{\sin }^2\left(2s\right)\right)$

11. Stellen  Sie  die  Eins  als  Summe  der  Quadrate  des  Sinus  und  des  Kosinus  unter  Anwendung  der  trigonometrischen  Grundidentitaet  dar.

$\frac{1}{2}·{\cos }^2\left(2s\right)+\frac{1}{2}·\left({\sin }^2\left(2s\right)+{\cos }^2\left(2s\right)\right)=6·{\cos }^{}\left(2s\right)·{\sin }^{}\left(2s\right)+2·\left({\cos }^2\left(2s\right)-{\sin }^2\left(2s\right)\right)$

12. Fuehren  Sie  die  Substitution  der  Funktion  aus,  unter  Beachtung  der  Tatsache,  dass  im  Ausdruck  nur  aehnliche  Polynome  enthalten  sind.  Ersetzen  Sie  alle  im  Ausdruck  enthaltenen  Polynome  durch  ein  neues  Argument.

$\frac{1}{2}·{\cos }^2\left(u\right)+\frac{1}{2}·\left({\sin }^2\left(u\right)+{\cos }^2\left(u\right)\right)=6·{\cos }^{}\left(u\right)·{\sin }^{}\left(u\right)+2·\left({\cos }^2\left(u\right)-{\sin }^2\left(u\right)\right)$

13. Dividieren  Sie  beide  Seiten  der  Gleichung  durch  denselben  von  Null  verschiedenen  Ausdruck.

$\frac{1}{2}·\frac{{\cos }^2\left(u\right)}{{\sin }^2\left(u\right)}+\frac{1}{2}·\left(1+\frac{{\cos }^2\left(u\right)}{{\sin }^2\left(u\right)}\right)=6·\frac{{\cos }^{}\left(u\right)}{{\sin }^{}\left(u\right)}·1+2·\left(\frac{{\cos }^2\left(u\right)}{{\sin }^2\left(u\right)}-1\right)$

14. Stellen  Sie  das  Verhaeltnis  des  Kosinus  zum  Sinus  als  Kotangens  unter  Anwendung  der  Kotangensdefinition  dar.

$\frac{1}{2}·{\mathrm{ctg}}^2\left(u\right)+\frac{1}{2}·\left(1+{\mathrm{ctg}}^2\left(u\right)\right)=6·{\mathrm{ctg}}^{}\left(u\right)·1+2·\left({\mathrm{ctg}}^2\left(u\right)-1\right)$

15. Da  in  der  Gleichung  nur  gleiche  Elementarfunktionen  vom  Argument  enthalten  sind,  fuehren  Sie  die  Ersetzung  dieser  Funktionen  gemaess  der  Regel  f(x)=t  aus,  wo  x  das  alte  Argument,  t  das  neue  Argument,  und  f  die  zu  ersetzende  Funktion  ist.

$\frac{1}{2}{y}^2+\frac{1}{2}·\left(1+y^2\right)=6y·1+2·\left(y^2- 1\right)$

16. Multiplizieren  Sie  die  im  Ausdruck  enthaltenen  Polynome  miteinander  unter  Anwendung  des  Distributivgesetzes.

$\frac{1}{2}{y}^2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{y}^2=6y+2y^2- 2$

17. Addieren  Sie  Polynome  unter  Anwendung  der  Definition  der  Addition.

$\frac{1}{2}{y}^2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{y}^2=6y+2y^2- 2$

18. Gruppieren  Sie  aehnliche  Polynomglieder.

$\frac{1}{2}{y}^2+\frac{1}{2}{y}^2+\frac{1}{2}=2y^2+6y- 2$

19. Addieren  Sie  Koeffizienten  bei  aehnlichen  Gliedern  des  Polynoms.

$y^2+\frac{1}{2}=2y^2+6y- 2$

20. Bringen  Sie  die  Ausdruecke  von  einer  Seite  der  Gleichung  auf  die  andere.  Als  Ergebnis  der  durchgefuehrten  Umformung  erhaelt  man  folgende  Gleichung,  die  der  gegebenen  aequivalent  ist.

$y^2+\frac{1}{2}-\left(2y^2+6y- 2\right)=0$

21. Addieren  Sie  Polynome  unter  Anwendung  der  Definition  der  Addition.

$y^2+\frac{1}{2}- 2y^2- 6y+2=0$

22. Gruppieren  Sie  aehnliche  Polynomglieder.

$y^2- 2y^2- 6y+\frac{1}{2}+2=0$

23. Addieren  Sie  Koeffizienten  bei  aehnlichen  Gliedern  des  Polynoms.

$- y^2- 6y+\frac{5}{2}=0$

24. Multiplizieren  Sie  beide  Seiten  der  Gleichung  mit  -1.  Als  Ergebnis  der  durchgefuehrten  Umformung  erhaelt  man  folgende  Gleichung,  die  der  urspruenglichen  aequivalent  ist.

$y^2+6y- \frac{5}{2}=0$

25. Zerlegen  Sie  das  quadratische  Trinom  in  Faktoren.  Als  Ergebnis  der  durchgefuehrten  Umformung  erhaelt  man  folgende  Gleichung,  die  der  urspruenglichen  aequivalent  ist.

$\left(y+3+\sqrt[2]{\frac{\mathrm{23}}{2}}\right)·\left(y+3-\sqrt[2]{\frac{\mathrm{23}}{2}}\right)=0$

26. Ersetzen  Sie  die  Gleichung  durch  eine  Vereinigung  der  Gleichungen  unter  Anwendung  der  Eigenschaft  des  Produktes.

$[\begin{array}{c}y+3+\sqrt[2]{\frac{\mathrm{23}}{2}}=0\\ y+3-\sqrt[2]{\frac{\mathrm{23}}{2}}=0\end{array}$

27. Loesen  Sie  die  Gesamtheit  der  linearen  Gleichungen  unter  Anwendung  der  Eigenschaften  von  Gleichungen.  Als  Ergebnis  erhaelt  man  folgende  Gleichungen,  die  den  urspruenglichen  aequivalent  sind.

$[\begin{array}{c}y=- 3-\sqrt[2]{\frac{\mathrm{23}}{2}}\\ y=- 3+\sqrt[2]{\frac{\mathrm{23}}{2}}\end{array}$

28. Fuehren  Sie  die  inverse  Ersetzung  der  Funktion  aus.

$[\begin{array}{c}{\mathrm{ctg}}^{}\left(2s\right)=- 3-\sqrt[2]{\frac{\mathrm{23}}{2}}\\ {\mathrm{ctg}}^{}\left(2s\right)=- 3+\sqrt[2]{\frac{\mathrm{23}}{2}}\end{array}$

29. Wenden  Sie  die  Loesungsformel  der  Gleichung  tg(x)=a  an.

$[\begin{array}{c}s=-\frac{1}{2}·{\mathrm{arcctg}}^{}\left(3+\sqrt[2]{\frac{\mathrm{23}}{2}}\right)+k·\frac{\pi }{2}\mathrm{ ; }k\in Z\\ s=\frac{1}{2}·{\mathrm{arcctg}}^{}\left(- 3+\sqrt[2]{\frac{\mathrm{23}}{2}}\right)+k·\frac{\pi }{2}\mathrm{ ; }k\in Z\end{array}$

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